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三角形の面積の求め方

ライターsrednertyouさん(最終更新日時:2012/1/29)投稿日:2012/1/29 アドバイス受付中!

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みなさんは三角形の面積の求め方をどれだけ知っていますか?

普段「一次関数」とか「三角比」みたいに分野ごとに数学を勉強することが多いですが,逆に三角形の面積の求め方といわれれば何を思いつきますか?

三角形の面積を求めるのは単純に見えて案外奥が深いです。特に様々な問題に絡んで「三角形ABCの面積を求めよ」みたいな問題が出てきます。これからいろいろな求め方を紹介したいと思います。

※中学レベルから高校レベルまでありますので分かるところだけ読んでくれれば結構です。

※この先指定がない限りBC=a,CA=b,AB=cとします。

 

1.底辺×高さ÷2

まず最初は基本の「底辺×高さ÷2」です。常識じゃん!と思うかもしれませんが,いろいろと応用されることもあります。

 

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こんな風にいっぱいの三角形を1つにまとめれば簡単になります。

 

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求めづらい三角形もこんな風に変形すれば「底辺×高さ÷2」が使えるようになります。

大切なのは公式を知っておくことだけでなく,応用することです。

 

2.ヘロンの公式

もし三角形の3辺の長さが分かっていればヘロンの公式を使って面積が求まります。ヘロンの公式とは一辺の長さをa,b,cとして三角形の面積は

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となることです。(ただしs=(a+b+c)/2)

まあ高校入試や大学入試では使うことはおそらくあまり無いと思われます。ただ知っておくとお得です。

 

3.正弦定理・余弦定理

三角比を用いて三角形の面積を求めることはよくあります。θ=∠BACとして三角形の面積は(1/2)・b・c・sinθと表されます。

つまりb,c,sinθが分かれば面積が求まります。

sinθについては正弦定理(a/sinA=b/sinB=c/sinC)を用いて求めるか,余弦定理(cosA=(b²+c²-a²)/2bc)を用いてからsin²A+cos²A=1より求めると良いでしょう。

b,cについても余弦定理(a²=b²+c²-2bc・cosA)などで求まります。

 

4.図形と方程式

座標上に三角形OABが図のようにあるとします。

47.jpg

この時三角形OABの面積をSとすると

48.jpg

となります。つまり三角形の1つの頂点が原点にあって残りの2頂点の座標が分かっていれば面積は求まるというわけです。

もし全部の頂点が原点になかった場合は無理矢理1つの頂点を原点に平行移動させたうえでやると上の公式が使えます。

5.ベクトル・内積

△OABのうちOA,OB,↑OA・↑OBが分かっているとき,次の公式が使えます。

49.jpg

ベクトルが分かっていればわざわざcos∠AOBを求めなくてもこのように面積を出せます。

 

6.最後に

いかがでしたでしょうか?三角形の面積の求め方はいっぱいありますが,問題が出てきたときにどの解き方を使うべきでしょうか。一番重要なのはそこです。問題に応じて自分が得意な,または楽に解ける方法などを考えたりするのは大切なことです。

今回は三角形の面積を中心としましたが,他の場合でも「どの解き方で解くか」ということを少し頭の中に入れておくと便利です。

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感想アドバイス履歴

  • 送信日時:2012/03/24 08:30:46

    mmkd72さん

    学んだ

  • 送信日時:2012/02/22 17:29:35

    abogado20000925さん

    学んだ

  • 送信日時:2012/02/02 17:02:29

    pkoki2310さん

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