軸が回転している楕円 （ax^2+2bxy+cy^2 = 1） の面積・回転角・長半径・短半径

回転角θの求め方

• ax^2+2bxy+cy^2 = 1　( b^2-ac < 0 ） 　・・・・・・①
• 楕円上の点(x,y)を原点を中心にθ(-π/4≦θ≦π/4)だけ回転させたとき、点が座標(X,Y)に移ったとしますと、この回転の一次変換は
  x = Xcosθ+Ysinθ,
  y = -Xsinθ+Ycosθ
  ですから、これを楕円の式①に代入して、XYの項の係数が 0 になるようなθを求めます。
  
  a(Xcosθ+Ysinθ)^2+2b(Xcosθ+Ysinθ)(-Xsinθ+Ycosθ)+c(-Xsinθ+Ycosθ)^2 = 1
  ⇔ (1/2){(a-c)cos(2θ)-2bsin(2θ)+a+c}X^2 +(1/2){-(a-c)cos(2θ)+2bsin(2θ)+a+c}Y^2 +{(a-c)sin(2θ)+2bcos(2θ)}XY = 1 ・・・・・・・・・・・・・・・・②
  
  よって、XYの係数が0ですから、
  (a-c)sin(2θ)+2bcos(2θ) = 0
  ∴
• tan(2θ) = 2b/(c-a) , 
• sin(2θ) = -2b/√{(a-c)^2+4b^2},
• cos(2θ) = (a-c)/√{(a-c)^2+4b^2}
• ∴ θ = (1/2) arctan{ 2b/(c-a) }

長半径Aと短半径Bの求め方

• 上で求めたθのとき、式②のX^2、Y^2 の係数はそれぞれ 1/B^2、 1/A^2 となります。

  A = √2/√{-(a-c)cos(2θ)+2bsin(2θ)+a+c}

  = √2/√{a+c-√[(a-c)^2+4b^2]}

  B = √2/√{(a-c)cos(2θ)-2bsin(2θ)+a+c}

• = √2/√{a+c+√[(a-c)^2+4b^2]}

面積Sの求め方

• 〔求め方Ⅰ〕
• 上で求めた長半径Aと短半径Bを用いる方法。
• S = πAB
• = π√2/√{a+c-√[(a-c)^2+4b^2]} √2/√{a+c+√[(a-c)^2+4b^2]}
• = 2π/√{ (a+c)^2-(a-c)-2-4b^2 }
•  = π/√(ac-b^2)
• 〔求め方Ⅱ〕
• 楕円の方程式から直接、積分で求める方法。
• 式①をyについて解きますと、
• y = -(b/c)x±(1/c)√{ (b^2-ac)x^2+c }
• 根号の中身は0以上でなければなりませんので、
• (b^2-ac)x^2+c ≧ 0
•  b^2-ac <0 の条件下で、この不等式を満たす実数xが存在しなければなりませんので、c > 0
• ∴ -√{ c/(ac-b^2) } ≦ x ≦ √{ c/(ac-b^2) }
• S = ∫[x=-√{ c/(ac-b^2) } → √{ c/(ac-b^2) } ]  { ( -(b/c)x±(1/c)√{ (b^2-ac)x^2+c } ) - (-(b/c)x±(1/c)√{ (b^2-ac)x^2+c } ) } dx
• = (4/c) ∫[x=0→√{ c/(ac-b^2) } ]  √{ (b^2-ac)x^2+c } dx
• ここで、x√{ (ac-b^2)/c } = sin(t) と置換しますと、
• dx = cos(t) dt √{ c/(ac-b^2) }
• x： 0→√{ c/(ac-b^2) }
• t： 0→π/2
• S = (4/c)∫[t=0→π/2] cos(t)^2 c/√(ac-b^2)  dt
• = 2/√(ac-b^2) ∫[t=0→π/2] { 1+cos(2t) } dt
• = π/√(ac-b^2)