ベクトルの問題の答え

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（１）
まず、→OCを→aで表します。

→OCは辺ＯＡを２：１に内分するので、　→ＯＣ＝２/3→a　です。

内分の公式より、　→ＯＰ＝1-t・→ＯＣ＋t・→ＯＢ　となります。
ここで先程求めた→ＯＣを代入すると、　→ＯＰ＝1-t・2/3→a＋t・→ＯＢ　

次に、→a・→bは公式より　→a・→ｂ＝｜→a｜｜→b｜cos45°＝１０　です。

（２）

ＯＰ⊥ＢＣということは、　→ＯＰ・→ＢＣ＝０　になるということです。

ここで、少しこの式をいじります。

→ＯＰ・→ＢＣ＝→ＯＰ・（→ＯＣ－→ＯＢ）＝０　となります。

そして、この式に→a,→bで表されたものを代入すると、

{2/3(1-t)→a+t→b}・(2/3→a-→b)＝０
⇔4/9(1-t)｜→a｜^2-2/3(1-t)→a・b→+2/3t→a・→b-t｜→b｜^2
あとはこれに代入して、
t=10/13
となります。

（３）

点Ｑが辺ＡＢをs:1-sに内分する点とします。（０＜ｓ＜１）

すると、
→ＯＱ＝ｋ・→ＯＰ（ｋは実数）・・・①
→ＯＱ＝（１－ｓ）・→ＯＡ＋ｓ・→ＯＢ・・・②
とこの２通りで表すことができます。

（①、②で表すことが出来る理由は後で説明します。）

①、②それぞれを→a,→bで表すと、

①・・→ＯＱ＝k(2/13→a+10/13→b)
②・・→ＯＱ＝（１－ｓ）・→a＋ｓ・→b

ここでベクトルは必ず１通りでしか表すことができないので、

①＝②が成り立ちます。

つまり、①、②の→a,→bの係数が等しければ①＝②が成り立つといえます。

よって、2/13k=1-s・・③
        10/13k=s・・④

この二つの式を解くと、
k=13/12　が求まります。

後は、①に代入して、　→ＯＱ＝1/6→a+5/6→b・・・⑤　

最後に→ＯＱの大きさですが、

⑤の両辺を２乗すると、

｜→ＯＱ｜^2＝1/36｜→a｜^2+10/36→a・→b+25/36｜→b｜^2
となり、ここにすべての値を代入すると、
｜→ＯＱ｜^2=25/36+100/36+200/36
　　　　　　　　=325/36

よって、｜→ＯＱ｜＝5√13/6
です。　

そして、①、②の説明ですが

②は辺ＡＢをｓ：（１－ｓ）に内分する点だからです。
①は点Ｑは直線ＯＰ上にあるということなので、→ＯＰを何倍かしてやると必ず→ＯＱと重なるからです。

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