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コインを何回も投げると案外、同じ面が連続する

ライターさん(最終更新日時:2013/7/14)投稿日:

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誕生日のパラドックスというのがあります。
これは結構有名で、70人集まれば、99.9%強(具体的には、1-(365P70/365^70)=99.9159576%)同じ誕生日のペアができてしまいます。1年は365日ありますから、70人集まっても、誕生日はバラバラになりそうな気もするのですが、実際はほぼ100%同じ誕生日のペアができてしまうというのは、意外ですね。
これに匹敵する意外な事実をもうひとつ。
コインを11回以上投げると、同じ面が4回以上連続する確率は、50%を越えます。
たった11回投げるだけで、表表表表とか裏裏裏裏とか、同じ面が4回以上連続する確率のほうが、4回以上連続しない確率を上回ってしまうのです。
a[n]+a[n+1]+a[n+2]=a[n+3]
a[1]=1,a[2]=2,a[3]=4である数列a[n]を考えます。
コインをn回投げると、同じ面が4回以上連続する確率p(n)=1-{a[n]/2^(n-1)}となります。
数列a[n]は、1,2,4,7,13,24,44,81,149,274,504,927*****となりますから、
p(11)=1-{a[11]/2^10}=1-(504/1024)=65/128であり、これは、50.78125%となります。
11回投げると同じ面が4回以上連続するほうが、4回以上連続しない場合より多くなるわけです。
これはコインだけの話ではなく、たとえば、スポーツの試合結果についても、同じことが言えてしまいます。
プロ野球で、勝率5割程度の全く普通のチームが11試合以上消化すると、調子自体は全く変わらなくとも、連勝や連敗が4つ以上続く確率は、50%を越えることになります。
4連勝したから好調だとか、4連敗したから不調だとか、一概には言えないわけです。
面白いですよね。

数学が得意な人は、なぜこのような計算式になるのか、よ-く考えればわかると思いますが、それにしても、同じ面が結構連続するものなんですね。
ちなみに、コインを6回投げるだけで、同じ面が[3回]以上連続する確率は、59.375%にもなります。3回くらいいつでも連続しちゃうわけですね。
誕生日のパラドックス同様に、なんだか不思議ですね(個人的感想として)。

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