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x軸の周りに1回転させてできる立体の体積

ライターさん(最終更新日時:2013/5/30)投稿日:

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xy平面において,-π≦x≦πの区間で2曲線C1:y=sinx,C2:y=√3cosxを考える。

(1)C1とC2の交点を求めよ。

(2)C1とC2によって囲まれた領域をDとする。Dの面積を求めよ。

(3)Dをx軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

(1)
sinx=√3cosx
2cos(x+π/6)=0
x+π/6=±π/2
x=-2π/3,π/3
y=-√3/2,√3/2

(2)
D=∫[-2π/3π/3](√3cosx-sinx)dx
=[√3sinx+cosx][-2π/3π/3]
=4

(3)
体積/π=∫[-2π/3~-π/2](-3cos^2x+sin^2x)dx
+∫[-π/2~-π/3](sin^2x)dx
+∫[-π/3~0](3cos^2x)dx
+∫[0π/3](3cos^2x-sin^2x)dx

∫[-2π/3~-π/2](-3cos^2x+sin^2x)dx
=∫[-2π/3~-π/2](1-4cos^2x)dx
=∫[-2π/3~-π/2](1-2(1+cos2x))dx
=∫[-2π/3~-π/2](-1-2cos2x)dx
=[-x-sin2x][-2π/3~-π/2]
=√3/2-π/6

∫[-π/2~-π/3](sin^2x)dx
=∫[-π/2~-π/3](1-cos2x)/2dx
=(1/2)[x-sin2x/2][-π/2~-π/3]
=(1/2)(√3/4+π/6)
=√3/8+π/12

∫[-π/3~0](3cos^2x)dx
=∫[-π/3~0]((3/2)(1+cos2x)dx
=(3/2)[x+sin2x/2][-π/3~0]
=-(3/2)(-π/3-√3/4)
=3√3/8+π/2

∫[0π/3](3cos^2x-sin^2x)dx
=∫[0π/3](1+2cos2x)dx
=[x+sin2x][0π/3]
=π/3+√3/2

したがって、求める体積は、
π(√3/2-π/6+√3/8+π/12+3√3/8+π/2+π/3+√3/2)
=(3√3/2+3π/4)π

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