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偏差値とは?(偏差値⇔順位の早見表つき)

ライターさん(最終更新日時:2015/12/31)投稿日:

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まず最初に、あまり他の人が書かないようなアプローチだと自負していますが、
偏差値いくつなら上から何%なのか(表1)
上から何%なら偏差値いくつなのか(表2)
を表した便利な早見表を書いておきます。
偏差値とは何か、標準偏差とは何かの説明、その他もろもろの説明は後回し。


(表1)順位早見表

偏差値が
100なら、上から0.0000287%
90なら、上から0.00317%
85なら、上から0.0233%
80なら、上から0.135%
75なら、上から0.621%
74なら、上から0.820%
73なら、上から1.072%
72なら、上から1.390%
71なら、上から1.786%
70なら、上から2.275%
偏差値が
69なら、上から2.872%
68なら、上から3.593%
67なら、上から4.457%
66なら、上から5.480%
65なら、上から6.681%
64なら、上から8.076%
63なら、上から9.680%
62なら、上から11.51%
61なら、上から13.57%
60なら、上から15.87%
偏差値が
59なら、上から18.41%
58なら、上から21.19%
57なら、上から24.20%
56なら、上から27.43%
55なら、上から30.85%
54なら、上から34.46%
53なら、上から38.21%
52なら、上から42.07%
51なら、上から46.02%
50なら、上から50.00%(平均)
偏差値が
49なら、上から53.98%
48なら、上から57.93%
47なら、上から61.79%
46なら、上から65.54%
45なら、上から69.15%
44なら、上から72.57%
43なら、上から75.80%
42なら、上から78.81%
41なら、上から81.59%
40なら、上から84.13%
偏差値が
39なら、上から86.43%
38なら、上から88.49%
37なら、上から90.32%
36なら、上から91.92%
35なら、上から93.32%
30なら、上から97.72%
25なら、上から99.38%
20なら、上から99.87%
15なら、上から99.98%
10なら、上から99.997%
0なら、上から99.99997%


(表2)偏差値早見表

順位が上から
0.0001%なら、偏差値は97.5~97.6
0.001%なら、偏差値は92.6~92.7
0.01%なら、偏差値は87.1~87.2
0.1%なら、偏差値は80.9~81.0
1.0%なら、偏差値は73.2~73.3
2.0%なら、偏差値は70.5~70.6
3.0%なら、偏差値は68.8~68.9
4.0%なら、偏差値は67.5~67.6
5.0%なら、偏差値は66.4~66.5
6.0%なら、偏差値は65.5~65.6
7.0%なら、偏差値は64.7~64.8
8.0%なら、偏差値は64.0~64.1
9.0%なら、偏差値は63.4~63.5
10%なら、偏差値は62.8~62.9
順位が上から
11%なら、偏差値は62.2~62.3
12%なら、偏差値は61.7~61.8
13%なら、偏差値は61.2~61.3
14%なら、偏差値は60.8~60.9
15%なら、偏差値は60.3~60.4
16%なら、偏差値は59.9~60.0
17%なら、偏差値は59.5~59.6
18%なら、偏差値は59.1~59.2
19%なら、偏差値は58.7~58.8
20%なら、偏差値は58.4~58.5
順位が上から
21%なら、偏差値は58.0~58.1
22%なら、偏差値は57.7~57.8
23%なら、偏差値は57.3~57.4
24%なら、偏差値は57.0~57.1
25%なら、偏差値は56.7~56.8
30%なら、偏差値は55.2~55.3
35%なら、偏差値は53.8~53.9
40%なら、偏差値は52.5~52.6
45%なら、偏差値は51.2~51.3
50%なら、偏差値は50.0(平均)
55%なら、偏差値は48.7~48.8
60%なら、偏差値は47.4~47.5
65%なら、偏差値は46.1~46.2
70%なら、偏差値は44.7~44.8
75%なら、偏差値は43.2~43.3
順位が上から
80%なら、偏差値は41.5~41.6
85%なら、偏差値は39.6~39.7
90%なら、偏差値は37.1~37.2
95%なら、偏差値は33.5~33.6
96%なら、偏差値は32.4~32.5
97%なら、偏差値は31.1~31.2
98%なら、偏差値は29.4~29.5
99%なら、偏差値は26.7~26.8
99.9%なら、偏差値は19.0~19.2

ただし、データのバラツキが正規分布に従うとした場合。
(早見表はここで終わり)


初めに

偏差値とは何かを中学生・高校生向けに書きます。

最近、偏差値って何ですか?、、という質問が多いです。月に1回はこういう質問を見かけます。
詳しいことは検索サイトで「偏差値」と入力して調べれば分かるんでしょうが、詳しすぎて逆に分からないこともあると思う。
そこで、難しいことは省いて簡単なことだけ書きます。簡単なことだけですので、ここに書いたことがすべてではありませんから注意。
非常に長いので、とりあえず赤字だけ読んでもらっても分かるように再編集し直しました。

◆よくある質問(1)◆
Q:テストで90点取りました。このとき偏差値はいくらですか?
A:んなもん、これだけでは分かる訳ない。

◆よくある質問(2)◆
Q:平均点が70点のテストで90点取りました。このとき偏差値はいくらですか?だいたいの数でもいいです。
A:これでもデータ不足で計算できない。だいたいの数の推測も不能。誰にも分からない。

◆まともな質問◆
Q:平均点が70点、標準偏差が16点のテストで90点取りました。このとき偏差値はいくらですか?
A:これなら計算出来る(答え:偏差値62.5)。
偏差値が分かれば、順位(上から何%か)もだいたい分かる。
あなたの偏差値を知るためには、データとしてあなたの点数の他、平均標準偏差が必要になります。
標準偏差が分かっていないと計算出来ないことを知らない人をたまに見かけますので、この際に覚えておいてください。

(ポイント)
テストの点数から偏差値を求めるときに必要なデータ
→そのテストの平均点、そのテストの標準偏差
いずれかが欠けても計算不能ということ。


そもそも、偏差値って何?

ある集団の中で、あるデータがどの辺に位置しているかを数値化したものが偏差値です。
偏差値が高ければ上の方だな、低ければ下の方だな、ということが分かります。
ある集団とは、あなたの学校の同学年の生徒の集団かもしれないし、全国の同学年の生徒の集団かもしれない。そういう、“ある集団” の中であなたの成績はどうなのかを考えるものです。
この時の “ある集団” 母集団といいます
ちなみに、ここでは成績のことを例に書きましたが、例えば身長や体重でも同じような考え方で応用出来ます。
ここで重要事項。平均値は偏差値50です。これは必須知識。

さて、あるテストを何千人、何万人の生徒に受けてもらうとする。データが非常に多くなってくると、生徒たちの得点の分布はだいたい(図1)のように分布することが経験的に知られています。

(図1) 正規分布6.jpg
  
正規分布1.jpg

正規分布4.jpg

真ん中が厚くて両端が薄い。つまり、真ん中の平均点付近には人数が多く、満点を取った人や0点を取った人は少ない。一般的にこうなることは経験的に分かるでしょう?
データってだいたいこんなふうに分布するんです。上のグラフのような分布を正規分布といいます。もちろん、いつも必ずこんなキレイな形で分布をする訳ではありません。

下のグラフのようにピークの山が2つあることもあります(二峰性と言う)。
二峰性のグラフ.jpg
予備校の記述模試の物理なんかだと0点ばっかりが大量発生してひどいときは10人に1人が0点、100点満点で30点も取れていれば出来が良かった方、なんてこともあります。

(破線は現役生を、一点鎖線は浪人生を、実線はトータルを表しています)。 
写真 1 国語.JPG
写真 1 生物.JPG
国語、生物はほぼ正規分布。平均を中心に左右対称のキレイな形をしていますが、、、 

写真 1化学.JPG
化学は山の頂点がだいぶ左に偏っています。 

写真 1 物理.JPG
やや極端な例ですが、物理は10人に1人が0点。平均点26点に対して左右対称じゃありません。得点分布がこのようにひどく歪んだ形をしていますけど、こんなのでも偏差値は計算上出せます。
物理みたいなこともありますけど、データはだいたい正規分布になるものとして考えていきます

ところで、みんなの点数が似たような点数ばかりなら、みんなの取った点数は平均点付近に集中します(図2の)。
出来た人と出来なかった人の差が激しいと、点数のバラツキが大きくなります(図2の)。

(図2) 正規分布2.jpg
 正規分布3.jpg
つまり、似たような点数の人が多い場合はグラフの山が狭くて尖がった形)になり、
出来不出来の差が激しい場合はグラフの山の裾野は広くてなだらかな形)になる訳ですね。

ここで、平均点70点のテストで90点を取った場合を考える。同じ平均点プラス20点であってもグラフの山の形によって、
→その90点は他の人も取れているあまり大したことのない点数なのか()、
→90点も取れた人は非常に少なくて出来の良かった人しか取れてない点数なのか()、
その意味合いが違ってきます。


標準偏差とは何?

そこで、標準偏差という概念を取り入れます。
標準偏差とは、データのバラツキ(散らばり具合)を表す指標です。

標準偏差の計算の仕方はここでは必要ないので省略します。知りたい人はウィキペディアでも見てください。あるいは数学の教科書にも載っていると思います。これの手計算は非常にめんどくさい。しかし、コンピューターなら一瞬のうちに計算してくれます。
ちなみに、標準偏差の値自体は全員の点数(すべてのデータ)がわからないと計算出来ません。だから、模擬試験なら予備校が「今回の英語のテストの標準偏差は×点です」などとその数値を公表します。標準偏差の数値自体をあなたが計算するのは不可能ですので、誤解しないようにしてください(全員の点数を知っていれば別だが)。

とりあえず、あなたの点数が偏差値いくらなのかを知りたいのであれば、先ほど書いたとおり平均標準偏差の値がわかれば算出することが出来ます(つまり、標準偏差の値はあなたが計算で出すのではなくて、予備校とかが計算してくれた値を利用するのです)。

標準偏差は、似たような点数の人が多いテストではその値は小さくなり(グラフの山の幅が狭くて頂点が尖がっている)、出来不出来の差が激しかったテストではその値は大きくなります(グラフの山の裾野が広くてなだらかな形)。
上の図2でいえば、
尖った山のときは標準偏差は小さくなり、
なだらかな山のときは標準偏差は大きくなります。

データの散らばり具合を表しているんですから、そうなりますよね?
つまり、標準偏差が大きければ、データの散らばりが大きいということです。逆も言えて、データが大きく散らばっていれば、標準偏差は大きくなります。

(2014年センター試験:理科の結果)
科目、、、、、、平均点、、、標準偏差
理科総合A、、48.23、、、17.01
理科総合B、、53.39、、、13.92←注目
 物理Ⅰ、、、、61.64、、、24.10←注目
 化学Ⅰ、、、、69.42、、、24.06
 生物Ⅰ、、、、53.25、、、20.74
 地学Ⅰ、、、、50.22、、、17.88

この表を見ると、標準偏差は理科総合Bの13.92点に対し、物理Ⅰは24.10点です。化学Ⅰも似たような数値で24.06点。
つまり、ここから何が分かるかというと、
物理や化学ではそれぞれ受験した人の間(母集団)では標準偏差が24点と、他の科目よりも大きく、ゆえに出来不出来の差が大きめだった
理科総合Bの母集団では標準偏差は14点と、人による点差が物理や化学ほどは大きくなかった
ということが読み取れます。


偏差値と標準偏差の関係

さて、ポイントは、標準偏差” の値が “偏差値の10の幅” に相当するということです。
偏差値の10の幅とは、偏差値60と50の差の10とか、偏差値50と40の差の10とか、そういう10の幅のことです。もちろん、これは偏差値55と45の差の10でも、偏差値72と62の差の10でも同じ10です。
少し言い方を変えると、“標準偏差の数値を10で割ったもの” が “偏差値の1の幅” に相当することになります。こちらの方が使いやすいかもしれない。


偏差値の具体的な計算例

これから、平均と標準偏差から偏差値を計算します。

2014年センター試験の英語(筆記)の結果は、平均点118.87点、標準偏差41.06点でした。
あなたの点数が118.87点なら、偏差値は50.0ということになります。
なお、テストの点数は基本的にいつも整数ですが、ここでは小数もありだとします。

標準偏差が41.06点ですから、平均点よりも41.06点良ければ(159.93点)、
偏差値は60です。
標準偏差が41.06点ですから、平均点よりも41.06点悪ければ(77.81点)、
偏差値は40です。
標準偏差が “偏差値の10の幅” とは、こういうことです。ここでは41.06点違えば、偏差値は10違ってくる訳です。

さて、標準偏差は41.06点ですが、これを10で割ると4.106点。
さっきも書きましたが、点数が “(標準偏差÷10)違えば” 偏差値は “1” 違ってきます
だから、4.106点違うごとに偏差値は1ずつ違ってくることになります

ここまで解れば、平均と標準偏差のデータがそろえば、あなたの点数が偏差値いくつなのか簡単に計算出来ます。

下の表の偏差値50を中心に、そこから上へ下へと見てください。

 偏差値70、、、118.87+(4.106×20)
 、、、
 偏差値60、、、118.87+(4.106×10)
 、、、
 偏差値55、、、118.87+4.106+4.106+4.106+4.106+4.106
 偏差値54、、、118.87+4.106+4.106+4.106+4.106
 偏差値53、、、118.87+4.106+4.106+4.106
 偏差値52、、、118.87+4.106+4.106
 偏差値51、、、118.87+4.106           
 偏差値50、、、118.87       ←ここから 上へ 下へ と見る
 偏差値49、、、118.87-4.106           
 偏差値48、、、118.87-4.106-4.106
 偏差値47、、、118.87-4.106-4.106-4.106
 偏差値46、、、118.87-4.106-4.106-4.106-4.106
 偏差値45、、、118.87-4.106-4.106-4.106-4.106-4.106
 、、、
 偏差値40、、、118.87-(4.106×10)
 、、、
 偏差値30、、、118.87-(4.106×20)

こういうことです。

例えば、118.87+4.106=122.976点を取った人は、偏差値51ということ。
同様に、
118.87+(4.106×)=127.082点を取った人は、偏差値52
118.87+(4.106×)=131.188点を取った人は、偏差値53
118.87+(4.106×)=135.294点を取った人は、偏差値54
、、、、、、
118.87+(4.106×17)=188.672点を取った人は、偏差値67
118.87+(4.106×18)=192.778点を取った人は、偏差値68
118.87+(4.106×19)=196.884点を取った人は、偏差値69

ただし、偏差値70の118.87+(4.106×20)は満点の200点を超えてしまう。だから、このテストでは偏差値70は存在せず、200点満点の人は偏差値69.76ということになって、これがこのテストにおける偏差値の最高となる。
(計算)
 200-118.87=81.13、、、、平均よりも81.13点良かった。
 81.13÷4.106=19.76、、、、81.13点は4.106(=41.06÷10)点の19.76個分。
 50+19.76=69.76、、、、、、偏差値50よりも19.76良かったから偏差値69.76。

念のため書きますが、テストの平均点や標準偏差によっては、偏差値100超えや値がマイナスになることなどはレアケースですが計算上ありえます

さて、平均点が “m点”、標準偏差が “σ点”、あなたの点が “x点” だとする。σはシグマと読む(Σもシグマで、Σは大文字のシグマ、σは小文字のシグマ、ギリシャ文字です)。
標準偏差はσと書いたり SD と書いたりするが、これはどうでもいい。
すると、あなたの偏差値を求める計算式は以下のようになります

(あなたの偏差値)=50+(x-m)÷(σ/10)=50+10(x-m)/σ

繰り返しますが、あなたの点)と平均点)と標準偏差σ)のデータが3つそろえば、あなたの偏差値が計算出来ます。
(x-m)はあなたの点数から平均点を引いたもの。つまり、平均点よりどのぐらい良く出来たかというもの。平均より良ければこの値はプラスになるし、平均より悪ければマイナスになります。平均より悪くて(x-m)がマイナスなら、あなたの偏差値は50より低くなるのは解りますよね。
理屈が解っていれば、なぜこんな公式になるかが解るはず(暗記する必要なし)。


解説はだいたい以上で終わりです。これぐらいのことが解っていれば、テスト結果の解釈などが可能です。

その他、強いて言えば、2つのテストの結果を比較して解釈するとか、そういった利用法もありますが、省略します。
さらに詳しく知りたい人は、「偏差値」「標準偏差」「正規分布」などの語で検索して勉強してください。


標準偏差の単位と偏差値の単位(補足)

今はテストの話をしているので、標準偏差の単位は “点” になります。“標準偏差16点”  というように。身長の話をしているなら単位はcmだし、体重の話をしているなら単位はkgという訳です。
平均値だって、“70点”  だったり “170cm” だったり “63kg” だったりしますよね。それと同じことです。
標準偏差には単位を伴うということです。

偏差値には単位は付きません。50とか62.5というように単位なしで数値のみ記載します。
“偏差値60点” などというのは大大大間違いです。


最後に(補足)

“標準偏差値” なる用語は存在しませんので注意。こう言う人は、“標準偏差の値” と言うべきところを、めんどくさくて “の” を省略したのかもしれない。
しかし、いずれにしても標準偏差値なんていうものはないです。


最初の
Q:平均点が70点、標準偏差が16点のテストで90点を取ったら偏差値いくつですか?
の質問について。
  平均より良かったから偏差値は当然50より上。
  平均より20点良かった訳ですよね。
  ところで、16点差で偏差値は10違います。1.6点差で偏差値が1違うので、
  →20÷1.6=12.5。
  つまり、「平均である偏差値50」よりもこの人の偏差値は「12.5だけ良い」のだから、
  →50+12.5=62.5になります。
先ほど書いた計算式で表すと、
偏差値=50+10(x-m)/σ=50+10(9070)/16=62.5。

最初に掲げた早見表には偏差値62.5のときの順位(%)は抜けていますが、62.5なら上から約10.56%に位置していることになります。


◆確認問題◆
では、同じテスト(平均点70点、標準偏差16点のテスト)で

問題1: 78点だった人の偏差値はいくら?

問題2: 86点だった人の偏差値はいくら?

問題3: 94点だった人の偏差値はいくら?

問題4: 100点だった人の偏差値はいくら?

問題5: 30点だった人の偏差値はいくら?

問題6: 偏差値40の人は何点だったか?





























◆確認問題の答え◆
答え1: 偏差値55
答え2: 偏差値60
答え3: 偏差値65
答え4: 偏差値68.75
答え5: 偏差値25
答え6: 54点

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