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ノンパラメトリックな標準化Z変換:中央値と四分位を利用したロバストzスコア

ライターさん(最終更新日時:2016/10/23)投稿日:

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 robust-z-score.png執筆責任:井口豊(長野県岡谷市・生物科学研究所

 四分位の用語の意味と計算上の注意点は,次の知恵ノートも参照。

ここに述べる Z 値は,しばしば,ロバスト z スコア(robust z score)とも呼ばれる。食品化学の分野で,成分分析に,このロバスト z スコアが使われることがある。例えば,次の論文 p.997 左段を参照。

Puwastien, P. (2002)
Public health nutrition, 5(6a): 991-999.

ロバスト z スコアの式は,日本語文献なら,例えば,以下の  p. 366 式(4)も参照。

保母敏行ほか(2008)
分析化学,57(6), 363-392.

統計学において,平均μ,標準偏差σの正規分布に従う確率変数 X を,
Z = (X - μ) / σ
と置き,標準化あるいは基準化という変換が,しばしば用いられる。

この確率変数Zは,平均0,分散1の標準正規分布に従うことから,こう呼ばれる。

このように,平均と標準偏差を用いた標準化は良く知られているが, 中央値と四分位を用いた標準化は馴染みが薄いようである。

以下に間単に説明しよう。なお,四捨五入の誤差があるため,以下の等式では,両辺の数値が必ずしも一致しない場合もあるので,正確を期すためには,各自で実際に計算してほしい。

まず,第 3 四分位(75 %点)から第 1 四分位(25 %点)を引いた値を
四分位範囲(interquartile range, IQR)
と言う。

この計算を,標準正規分布の確率変数に対応させると,1.3489 となる。
すなわち,Zの確率分布関数をF(z)とすると
F(0.75) - F(0.25) = 1.3489

これは,EXCEL関数でも
NORMSINV(0.75) - NORMSINV(0.25) = 0.6744 - (- 0.6744) = 1.3489
と求められる。

そして,IQRを正規分布と関係付けるために,この1.3489で割る。
これを,正規四分位範囲(normalised IQR, NIQR)と言う。

すなわち,
NIQR = IQR / 1.3489 = IQR * 0.7413

各種文献では,割った形でなく,逆数をかけた後者の形で示されることが多い。

最後に,測定値を Xi,中央値(メディアン)をXm とすると,冒頭で述べた確率変数の標準化に類似して,

Z = (Xi - Xm) / NIQR

となり,これを,しばしば ロバスト Z スコアと呼ぶ。

つまり,
平均 → 中央値
標準偏差 → 標準正規分布に対応させた 四分位範囲
と変換したことになる。

通常の標準化(パラメトリックな標準化)に対して,ノンパラメトリックな標準化と言えるだろう。

このノンパラメトリック標準化をする利点は以下の通りである。
(1)中央値は,分布の代表値として,分布形に影響されない。
(2) 四分位は,バラツキの統計量として,分布両端の外れ値に影響されない。

(2)に関連して,NIQRは外れ値を切り取った,トリム標準偏差と言えるだろう。

私が専門とする生物学の分野では,このノンパラメトリック標準化は,ほとんど目にしないが,工業製品の統計では,しばしばお目にかかる。




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